# 数学新星问题征解 

第十五期 (2016.06)

主持: 牟晓生

第一题. 设 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 是单位复数. 证明存在单位复数 $z$ 使得:

$$
\frac{1}{\left|z-z_{1}\right|^{2}}+\frac{1}{\left|z-z_{2}\right|^{2}}+\frac{1}{\left|z-z_{3}\right|^{2}} \leq \frac{9}{4}
$$

(湖北武钢三中学生 王逸轩, 上海大学冷岗松 供题)

第二题. 如图, $D$ 是正三角形 $A B C$ 的边 $B C$ 上一点, $B D>C D$. 记 $O_{1}, I_{1}$ 为 $\triangle A B D$ 的外心与内心, $O_{2}, I_{2}$ 为 $\triangle A C D$ 的外心与内心. 圆 $I_{1}$ 与圆 $I_{2}$ 除 $B C$外的另一条外公切线交 $A B, A C$ 于 $P, Q$. 设直线 $P I_{1}$与 $Q I_{2}$ 交于 $R$, 而直线 $O_{1} I_{1}$ 与 $O_{2} I_{2}$ 交于 $T$. 证明: $A T^{2}=A R^{2}+A D \cdot B C$.

(广西钦州 卢圣 供题)



第三题. 给定正整数 $m, n$, 考虑在 $m \times n$ 白棋盘上先将一些格染成黑色. 在之后的每一时刻, 若存在一个白格至少与两个黑格相邻, 则可将它也染成黑色. 求最初至少要染多少个黑色格才能在某一时刻染黑整个棋盘?

(哈佛大学 牟晓生 供题)

第四题. $A B C$ 是一个三角形, 而 $P, Q, R$ 分别是 $B C, C A, A B$ 上的点。证明 $\triangle P Q R$ 的周长不小于 $\triangle A Q R, \triangle B R P, \triangle C P Q$ 周长的最小值.

(哈佛大学 牟晓生 供题)

