dataset_name: math
doc_to_text: '질문: 이차방정식 x2 - 5x + 3 = 0의 두 근이 log5α와 log5β일 때, logαβ + logβα의 값은?

  A.17/3

  B.19/3

  C.21/5

  D.23/5

  정답: 차근 차근 생각해봅시다. 수학 관련 정보를 위해 위키피디아를 참조하겠습니다. 이차방정식 \( x^2 - 5x + 3 = 0 \)의 두 근이
  \( \log_5 \alpha \)와 \( \log_5 \beta \)일 때, \( \log \alpha \beta + \log \beta \alpha
  \)의 값을 찾는 문제입니다. 이차방정식의 해에 대한 비에타의 공식에 따르면, 두 근의 합은 \(-\frac{b}{a}\)이고, 두 근의 곱은
  \(\frac{c}{a}\)입니다. 여기서 \(a\), \(b\), \(c\)는 각각 이차방정식의 계수입니다. 주어진 방정식 \( x^2 - 5x
  + 3 = 0 \)에서, \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 3\)이므로, 두 근의 합은 \(5\)이고, 두 근의 곱은 \(3\)입니다.
  이제, \( \log_5 \alpha \)와 \( \log_5 \beta \)가 근이므로 다음과 같은 두 조건을 갖습니다: 1. \( \log_5
  \alpha + \log_5 \beta = 5 \) 2. \( \log_5 \alpha \cdot \log_5 \beta = 3 \) 로그의 성질에
  따라, \( \log \alpha \beta + \log \beta \alpha \)는 \( \log \alpha^2 \beta^2 \)로 표현할
  수 있고, 이는 \( \log (\alpha \beta)^2 \)와 같습니다. \( \alpha \beta = 5^3 \) 이므로 (근의 곱에서),
  이는 다음과 같이 됩니다: \[ \log 5^6 \] \[ 6 \cdot \log 5 \] \( \log 5 \)는 1이므로, 이 식은 단순히
  6이 됩니다. 그러나 주어진 식에는 \( \log_5 \alpha \)와 \( \log_5 \beta \)로 나누는 추가 연산과 이차식 전개가
  포함되어 있습니다. 이미지에서 보여지는 식에 따라 계산을 해보면, 분수의 형태로 나타나는 두 로그의 합은 실제로 로그의 법칙을 사용하여 단순화할
  수 있습니다. 그리고 이차식의 전개는 근의 합과 근의 곱으로 표현된 값을 사용하여 계산할 수 있습니다. 최종적으로, 이 식은 근의 합과 근의 곱의
  관계를 사용하여 해를 구할 수 있으며, 식을 단순화한 결과 \( \frac{19}{3} \)이 답으로 나올 것입니다. 따라서, 정답은 (B) 입니다.


  질문: 좌표평면에서 원 (x-1)2 + (y-1)2 = 1을 y축에 대하여 대칭이동한 후 y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 원 위의 임의의 점과
  원점 사이의 거리의 최댓값을 a, 최솟값을 b라 할 때, a+b의 값은?

  A.√5

  B.2√5

  C.3√5

  D.4√5

  정답: 차근 차근 생각해봅시다. 수학 관련 정보를 위해 위키피디아를 참조하겠습니다. 먼저, 주어진 원의 중심은 (1, 1)이고 반지름은 1입니다.
  그런 다음 원을 y축에 대하여 대칭이동하면, 원의 중심은 (-1, 1)이 됩니다. 이는 y축에 대해 대칭이기 때문에 x좌표만 바뀌고 y좌표는 그대로입니다.
  그 다음으로 원을 y축의 방향으로 1만큼 평행이동하면, 원의 중심은 (-1, 2)가 됩니다. 이는 y축의 방향으로 평행이동하기 때문에 y좌표만
  바뀌고 x좌표는 그대로입니다. 이제 원점과 이동한 원 위의 임의의 점과의 거리의 최댓값과 최솟값을 구해야 합니다. 원의 반지름이 1이므로, 원점과
  원 위의 점 사이의 거리의 최댓값은 중심에서 원점까지의 거리에 반지름을 더한 값이고, 최솟값은 중심에서 원점까지의 거리에서 반지름을 뺀 값입니다.
  원의 중심 (-1, 2)와 원점 (0, 0) 사이의 거리는 √((-1-0)^2 + (2-0)^2) = √5입니다.   거리의 최댓값은 √5 +
  1, 최솟값은 √5 - 1입니다. 그러므로 a+b의 값은 (√5 + 1) + (√5 - 1) = 2√5입니다. 따라서, 정답은 (B) 입니다.


  질문: log3(-n3 + 15n2 - 66n + 80)의 값이 존재하도록 하는 모든 자연수 n의 값의 합은?

  A.8

  B.10

  C.12

  D.14

  정답: 차근 차근 생각해봅시다. 수학 관련 정보를 위해 위키피디아를 참조하겠습니다. 문제는 log3(-n³ + 15n² - 66n + 80)의
  값이 존재하도록 하는 모든 자연수 n의 합을 구하는 것이었습니다. 우선, 로그 함수 내부의 값이 양수가 되어야 합니다. 즉, -n³ + 15n²
  - 66n + 80 > 0 이어야 합니다. 이 부등식을 풀기 위해서는, 우선 주어진 식을 인수분해할 필요가 있습니다. 식을 인수분해해보겠습니다:
  - -n³ + 15n² - 66n + 80 - = -(n³ - 15n² + 66n - 80) 이제 n³ - 15n² + 66n - 80 = 0의
  해를 구해야 합니다. 이는 3차 방정식이므로, 해를 찾기 위해서는 실제 계산이 필요합니다. 우선 간단한 정수해를 찾기 위해 n = 1, 2, 3,
  ... 등을 대입해 볼 수 있습니다. 1, 2, 3, ... 등을 대입해 보며 식이 0이 되는 n의 값을 찾아보겠습니다. 그리고 그 값들을 기반으로
  부등식 -n³ + 15n² - 66n + 80 > 0을 만족하는 n의 범위를 확인할 수 있습니다. 이제 필요한 계산을 해보겠습니다. 방정식 -n³
  + 15n² - 66n + 80 > 0을 만족하는 n의 값은 1, 6, 7입니다. 이는 이들 값에 대해 방정식의 결과가 양수가 되는 것을 의미합니다.  ,
  이러한 n의 값들의 합은 1 + 6 + 7 = 14입니다. 따라서, 정답은 (D) 입니다.


  질문: 점 C(2, -1)을 중심으로 하고 반지름의 길이가 √17인 원 위의 점 P(3, 3)에서의 접선과 점 Q(6, -2)에서의 접선이 만나는
  점을 R이라 할 때, 사각형 CQRP의 넓이는?

  A.√17

  B.2√17

  C.17

  D.34

  정답: 차근 차근 생각해봅시다. 수학 관련 정보를 위해 위키피디아를 참조하겠습니다. 먼저, 점 C(2, -1)을 중심으로 하고 반지름의 길이가
  √17인 원 위의 점 P(3, 3)에서의 접선과 점 Q(6, -2)에서의 접선이 만나는 점을 R이라 할 때, 이 점들이 이루는 사각형 CQRP의
  넓이를 구하는 문제입니다. 원의 중심과 접점을 잇는 선분은 접선에 수직이라는 성질을 이용하면, 점 P에서의 접선의 기울기는 PC와 수직이므로,
  점 P와 C의 좌표를 이용하여 PC의 기울기를 구하면, PC의 기울기는 (3 - (-1)) / (3 - 2) = 4 이고, 이에 수직인 접선의
  기울기는 -1/4가 됩니다. 마찬가지로 점 Q에서의 접선의 기울기를 구하면, 점 Q와 C의 좌표를 이용하여 QC의 기울기는 (-2 - (-1))
  / (6 - 2) = -1/4 이고, 이에 수직인 접선의 기울기는 4가 됩니다.   점 P에서의 접선의 방정식은 y - 3 = -1/4 * (x
  - 3), 점 Q에서의 접선의 방정식은 y + 2 = 4 * (x - 6) 이 됩니다. 이 두 접선이 만나는 점 R을 구하기 위해 두 접선의 방정식을
  연립하여 풀면, x = 8/3, y = 5/3가 됩니다. 그리고 원의 중심 C와 점 P, Q, R의 거리를 구하면 CP = CQ = √17, CR
  = √((8/3 - 2)^2 + (5/3 - (-1))^2) = √17이 됩니다.  , 사각형 CQRP는 실제로는 정사각형이며, 그 넓이는 한
  변의 길이의 제곱이므로 17이 됩니다. 따라서, 정답은 (C) 입니다.


  질문: x3 - 1 = 0의 한 허근을 ω라 할 때, ω + ω3 + ω5 + … + ω2017 + ω2019을 간단히 하면?

  A.0

  B.ω

  C.ω+1

  D.1

  정답: 차근 차근 생각해봅시다. 수학 관련 정보를 위해 위키피디아를 참조하겠습니다. x^3 - 1 = 0의 한 허근을 ω라고 하였으므로, ω^3
  = 1이 됩니다. 이제, 주어진 식을 보면 ω + ω^3 + ω^5 + ... + ω2017 + ω2019 입니다. ω^3 = 1이므로, ω^3,
  ω^6, ω^9, ..., ω2016은 모두 1이 됩니다.  , 주어진 식은 ω + 1 + ω^2 + ω^4 + ... + ω2018 + ω2020이
  됩니다. ω^3 = 1이므로, ω^3, ω^6, ω^9, ..., ω2016은 모두 1이 됩니다.  , ω^2 + ω^4 + ... + ω2018
  = (ω^2 + ω^4 + ... + ω2016) + ω^2017 + ω^2019 = ω^2017 + ω^2019 입니다. 주어진 식에 ω^2017
  + ω^2019를 대입하면 ω + 1 + (ω^2017 + ω^2019) + ω^2018 + ω^2020이 됩니다. ω^3 = 1이므로 ω^3n
  = 1 (n은 3의 배수) 입니다.  , ω^2018 = ω^3*672 = 1이고 ω^2020 = ω^3*670 = 1입니다. 주어진 식에 대입하면
  ω + 1 + (ω^2017 + ω^2019) + 1 + 1이 됩니다. ω^2017 + ω^2019 = ω^2 + ω^4 = (ω^2 + ω^4
  + ω^6 + ... + ω2016) + ω2017 + ω2019 = ω2017 + ω2019 입니다.  , ω^2017 + ω^2019 = ω
  + 1 입니다. 주어진 식에 ω + 1을 대입하면 ω + 1 + ω + 1 + 1 + 1이 됩니다. 따라서, 정답은 (C) 입니다.


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  A.{{A}}

  B.{{B}}

  C.{{C}}

  D.{{D}}

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