dataset_name: math
doc_to_text: '{{question}}

  A.{{A}}

  B.{{B}}

  C.{{C}}

  D.{{D}}

  정답: 차근 차근 생각해봅시다. 수학 관련 정보를 위해 위키피디아를 참조하겠습니다.'
fewshot_config:
  sampler: first_n
  samples:
  - A: 17/3
    B: 19/3
    C: 21/5
    D: 23/5
    question: '질문: 이차방정식 x2 - 5x + 3 = 0의 두 근이 log5α와 log5β일 때, logαβ + logβα의 값은?'
    target: '차근 차근 생각해봅시다. 수학 관련 정보를 위해 위키피디아를 참조하겠습니다. 이차방정식 \( x^2 - 5x + 3 = 0
      \)의 두 근이 \( \log_5 \alpha \)와 \( \log_5 \beta \)일 때, \( \log \alpha \beta +
      \log \beta \alpha \)의 값을 찾는 문제입니다. 이차방정식의 해에 대한 비에타의 공식에 따르면, 두 근의 합은 \(-\frac{b}{a}\)이고,
      두 근의 곱은 \(\frac{c}{a}\)입니다. 여기서 \(a\), \(b\), \(c\)는 각각 이차방정식의 계수입니다. 주어진 방정식
      \( x^2 - 5x + 3 = 0 \)에서, \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 3\)이므로, 두 근의 합은 \(5\)이고,
      두 근의 곱은 \(3\)입니다. 이제, \( \log_5 \alpha \)와 \( \log_5 \beta \)가 근이므로 다음과 같은 두
      조건을 갖습니다: 1. \( \log_5 \alpha + \log_5 \beta = 5 \) 2. \( \log_5 \alpha \cdot
      \log_5 \beta = 3 \) 로그의 성질에 따라, \( \log \alpha \beta + \log \beta \alpha \)는
      \( \log \alpha^2 \beta^2 \)로 표현할 수 있고, 이는 \( \log (\alpha \beta)^2 \)와 같습니다.
      \( \alpha \beta = 5^3 \) 이므로 (근의 곱에서), 이는 다음과 같이 됩니다: \[ \log 5^6 \] \[ 6 \cdot
      \log 5 \] \( \log 5 \)는 1이므로, 이 식은 단순히 6이 됩니다. 그러나 주어진 식에는 \( \log_5 \alpha
      \)와 \( \log_5 \beta \)로 나누는 추가 연산과 이차식 전개가 포함되어 있습니다. 이미지에서 보여지는 식에 따라 계산을 해보면,
      분수의 형태로 나타나는 두 로그의 합은 실제로 로그의 법칙을 사용하여 단순화할 수 있습니다. 그리고 이차식의 전개는 근의 합과 근의 곱으로
      표현된 값을 사용하여 계산할 수 있습니다. 최종적으로, 이 식은 근의 합과 근의 곱의 관계를 사용하여 해를 구할 수 있으며, 식을 단순화한
      결과 \( \frac{19}{3} \)이 답으로 나올 것입니다. 따라서, 정답은 (B) 입니다.'
  - A: √5
    B: 2√5
    C: 3√5
    D: 4√5
    question: 좌표평면에서 원 (x-1)2 + (y-1)2 = 1을 y축에 대하여 대칭이동한 후 y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 원 위의
      임의의 점과 원점 사이의 거리의 최댓값을 a, 최솟값을 b라 할 때, a+b의 값은?
    target: 차근 차근 생각해봅시다. 수학 관련 정보를 위해 위키피디아를 참조하겠습니다. 먼저, 주어진 원의 중심은 (1, 1)이고 반지름은
      1입니다. 그런 다음 원을 y축에 대하여 대칭이동하면, 원의 중심은 (-1, 1)이 됩니다. 이는 y축에 대해 대칭이기 때문에 x좌표만
      바뀌고 y좌표는 그대로입니다. 그 다음으로 원을 y축의 방향으로 1만큼 평행이동하면, 원의 중심은 (-1, 2)가 됩니다. 이는 y축의
      방향으로 평행이동하기 때문에 y좌표만 바뀌고 x좌표는 그대로입니다. 이제 원점과 이동한 원 위의 임의의 점과의 거리의 최댓값과 최솟값을
      구해야 합니다. 원의 반지름이 1이므로, 원점과 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값은 중심에서 원점까지의 거리에 반지름을 더한 값이고, 최솟값은
      중심에서 원점까지의 거리에서 반지름을 뺀 값입니다. 원의 중심 (-1, 2)와 원점 (0, 0) 사이의 거리는 √((-1-0)^2 + (2-0)^2)
      = √5입니다.   거리의 최댓값은 √5 + 1, 최솟값은 √5 - 1입니다. 그러므로 a+b의 값은 (√5 + 1) + (√5 - 1)
      = 2√5입니다. 따라서, 정답은 (B) 입니다.
  - A: '8'
    B: '10'
    C: '12'
    D: '14'
    question: log3(-n3 + 15n2 - 66n + 80)의 값이 존재하도록 하는 모든 자연수 n의 값의 합은?
    target: '차근 차근 생각해봅시다. 수학 관련 정보를 위해 위키피디아를 참조하겠습니다. 문제는 log3(-n³ + 15n² - 66n
      + 80)의 값이 존재하도록 하는 모든 자연수 n의 합을 구하는 것이었습니다. 우선, 로그 함수 내부의 값이 양수가 되어야 합니다. 즉,
      -n³ + 15n² - 66n + 80 > 0 이어야 합니다. 이 부등식을 풀기 위해서는, 우선 주어진 식을 인수분해할 필요가 있습니다.
      식을 인수분해해보겠습니다: - -n³ + 15n² - 66n + 80 - = -(n³ - 15n² + 66n - 80) 이제 n³ - 15n²
      + 66n - 80 = 0의 해를 구해야 합니다. 이는 3차 방정식이므로, 해를 찾기 위해서는 실제 계산이 필요합니다. 우선 간단한 정수해를
      찾기 위해 n = 1, 2, 3, ... 등을 대입해 볼 수 있습니다. 1, 2, 3, ... 등을 대입해 보며 식이 0이 되는 n의 값을
      찾아보겠습니다. 그리고 그 값들을 기반으로 부등식 -n³ + 15n² - 66n + 80 > 0을 만족하는 n의 범위를 확인할 수 있습니다.
      이제 필요한 계산을 해보겠습니다. 방정식 -n³ + 15n² - 66n + 80 > 0을 만족하는 n의 값은 1, 6, 7입니다. 이는
      이들 값에 대해 방정식의 결과가 양수가 되는 것을 의미합니다.  , 이러한 n의 값들의 합은 1 + 6 + 7 = 14입니다. 따라서,
      정답은 (D) 입니다.'
  - A: √17
    B: 2√17
    C: '17'
    D: '34'
    question: 점 C(2, -1)을 중심으로 하고 반지름의 길이가 √17인 원 위의 점 P(3, 3)에서의 접선과 점 Q(6, -2)에서의
      접선이 만나는 점을 R이라 할 때, 사각형 CQRP의 넓이는?
    target: 차근 차근 생각해봅시다. 수학 관련 정보를 위해 위키피디아를 참조하겠습니다. 먼저, 점 C(2, -1)을 중심으로 하고 반지름의
      길이가 √17인 원 위의 점 P(3, 3)에서의 접선과 점 Q(6, -2)에서의 접선이 만나는 점을 R이라 할 때, 이 점들이 이루는 사각형
      CQRP의 넓이를 구하는 문제입니다. 원의 중심과 접점을 잇는 선분은 접선에 수직이라는 성질을 이용하면, 점 P에서의 접선의 기울기는 PC와
      수직이므로, 점 P와 C의 좌표를 이용하여 PC의 기울기를 구하면, PC의 기울기는 (3 - (-1)) / (3 - 2) = 4 이고,
      이에 수직인 접선의 기울기는 -1/4가 됩니다. 마찬가지로 점 Q에서의 접선의 기울기를 구하면, 점 Q와 C의 좌표를 이용하여 QC의 기울기는
      (-2 - (-1)) / (6 - 2) = -1/4 이고, 이에 수직인 접선의 기울기는 4가 됩니다.   점 P에서의 접선의 방정식은 y
      - 3 = -1/4 * (x - 3), 점 Q에서의 접선의 방정식은 y + 2 = 4 * (x - 6) 이 됩니다. 이 두 접선이 만나는
      점 R을 구하기 위해 두 접선의 방정식을 연립하여 풀면, x = 8/3, y = 5/3가 됩니다. 그리고 원의 중심 C와 점 P, Q,
      R의 거리를 구하면 CP = CQ = √17, CR = √((8/3 - 2)^2 + (5/3 - (-1))^2) = √17이 됩니다.  ,
      사각형 CQRP는 실제로는 정사각형이며, 그 넓이는 한 변의 길이의 제곱이므로 17이 됩니다. 따라서, 정답은 (C) 입니다.
  - A: '0'
    B: ω
    C: ω+1
    D: '1'
    question: x3 - 1 = 0의 한 허근을 ω라 할 때, ω + ω3 + ω5 + … + ω2017 + ω2019을 간단히 하면?
    target: 차근 차근 생각해봅시다. 수학 관련 정보를 위해 위키피디아를 참조하겠습니다. x^3 - 1 = 0의 한 허근을 ω라고 하였으므로,
      ω^3 = 1이 됩니다. 이제, 주어진 식을 보면 ω + ω^3 + ω^5 + ... + ω2017 + ω2019 입니다. ω^3 = 1이므로,
      ω^3, ω^6, ω^9, ..., ω2016은 모두 1이 됩니다.  , 주어진 식은 ω + 1 + ω^2 + ω^4 + ... + ω2018
      + ω2020이 됩니다. ω^3 = 1이므로, ω^3, ω^6, ω^9, ..., ω2016은 모두 1이 됩니다.  , ω^2 + ω^4
      + ... + ω2018 = (ω^2 + ω^4 + ... + ω2016) + ω^2017 + ω^2019 = ω^2017 + ω^2019
      입니다. 주어진 식에 ω^2017 + ω^2019를 대입하면 ω + 1 + (ω^2017 + ω^2019) + ω^2018 + ω^2020이
      됩니다. ω^3 = 1이므로 ω^3n = 1 (n은 3의 배수) 입니다.  , ω^2018 = ω^3*672 = 1이고 ω^2020 =
      ω^3*670 = 1입니다. 주어진 식에 대입하면 ω + 1 + (ω^2017 + ω^2019) + 1 + 1이 됩니다. ω^2017 +
      ω^2019 = ω^2 + ω^4 = (ω^2 + ω^4 + ω^6 + ... + ω2016) + ω2017 + ω2019 = ω2017
      + ω2019 입니다.  , ω^2017 + ω^2019 = ω + 1 입니다. 주어진 식에 ω + 1을 대입하면 ω + 1 + ω +
      1 + 1 + 1이 됩니다. 따라서, 정답은 (C) 입니다.
include: _cot_kmmlu_yaml
task: kmmlu_hard_cot_math
